¿Está loco el FMI?

Hace unos días el FMI planteó (por enésima vez) a España entre otras cosas la necesitad de reducir cotizaciones sociales y subir el IVA. Desde Bruselas dicen lo mismo. Las recomendaciones no gustan ni a derecha ni a izquierda, y el Gobierno ha dicho que no va a hacer caso de las mismas. Tenemos la suerte de poder decir que no a las "sugerencias" del FMI de modo que no parece que vayan a aplicarse esas recetas, por lo menos a corto plazo y con elecciones a la vista. 

Pero ¿tan locas son esas propuestas del FMI?. Voy a tratar de explicar aquí un esbozo del argumento no porque yo esté necesariamente de acuerdo sino porque conviene estar al tanto de lo que se dice y no hacer hombres de paja. La mezquindad sobre lo que cobra o deja de cobrar Christine Lagarde no deja de ser otro ejemplo más del panolismo acomplejado y escaso de materia gris que últimamente todo lo impregna.

Pero antes repasemos algunas cuestiones para poder después enlazarlas en la propuesta del FMI:

1. Cuando se grava un bien con un impuesto la carga del mismo se reparte y la cantidad comerciada se reduce. Hablé de esto aquí al hablar de la incidencia del IVA. Quienes viven de los cines, teatro o conciertos y reclaman una bajada del tipo del IVA del 21% para los espectáculos culturales viven en sus propias carnes el impacto devastador de un IVA elevado en un sector de demanda muy elástica: si repercuten el IVA al consumidor se quedan sin público y si no lo repercuten no les salen las cuentas. 
2. En España tenemos un "impuesto al trabajo" llamado cotizaciones sociales. Al margen de quién tiene la obligación de ingresar el dinero en la Seguridad Social funciona exactamente igual que un IVA: quien contrata tiene un coste (aprox. un 35%) superior al salario bruto del trabajador. De la misma manera que el IVA del teatro reduce de alguna manera el público asistente las cotizaciones tienen un efecto disuasorio en la contratación. ¿Pero sabemos cuánto? (El siguiente diagrama viene bien explicado aquí).
   
3. No podemos reducir el montante de las cotizaciones sociales ya que es de ahí de donde pagamos a nuestro pensionistas y parados. Pocas bromas con esto. 
4. Aproximadamente un 50% de la renta nacional se corresponde a rentas salariales. También hablé de esto en una entrada anterior. Esto significa que aproximadamente la mitad del coste de todo lo que producimos y consumimos es coste laboral. Por supuesto no es lo mismo un masaje del fisioterapeuta donde casi todo el coste es laboral que comprar unos pendientes de oro y brillantes, pero en términos agregados el cálculo es lo suficientemente afinado. 

Vamos ahora a explicar lo que dice el FMI. En primer lugar, si hay algo llamativo sobre la economía española es su elevada y pertinaz tasa de paro. Una legislación laboral cuando menos... peculiar, no favorece demasiado pero en cualquier caso son las leyes que nos hemos dado. Es lógico que desde organismos internacionales se solicite una normativa más ortodoxa o más acorde con la de los países de nuestro entorno. El impacto de las leyes españolas probablemente tiene el efecto de reducir la elasticidad del empleo a los salarios pero demostrar este extremo no es necesario para el argumento que sigue a continuación. De todos modos una mayor elasticidad del empleo a los salarios haría todavía más poderoso el argumento del FMI.

El FMI propone reducir los impuestos al trabajo esto es, las cotizaciones sociales para que se contrate más. Si el mercado de trabajo español fuese lo suficientemente elástico una reducción de las cotizaciones podría incrementar el número de empleados de tal manera que compensase la caída (una especie de curva de Laffer laboral). Pero nadie se cree esta historia. El FMI tampoco. De hecho sí que sería de esperar un incremento del empleo pero más bien modesto, por lo menos a corto plazo. Habría más gente trabajando pero no es fácil que cotizando todos menos el volumen recaudado fuese suficiente. 

¿Cómo cuadramos entonces el presupuesto?. El FMI propone subir el IVA. "¡Pero eso reducirá el consumo!" podemos pensar con razón. Lo que ocurre es que aquí hay unos pequeños detalles que no hemos tenido en cuenta:

El primero es que al reducir las cotizaciones sociales hemos reducido el coste de producción de todos los bienes en la medida que incorporan trabajo nacional.  Como hemos dicho antes la mitad de los costes de producción son costes laborales. Una reducción de los mismos permitiría al productor acomodar una subida del IVA y ofrecer el mismo (o parecido) precio al consumidor. En principio el consumo no tendría por qué resentirse. De hecho un mayor nivel de empleo se podría traducir en un mayor consumo a pesar de la subida del IVA. 

Por otro lado los bienes producidos en el país tendrían un coste menor pudiendo competir mejor con los bienes importados en el mercado nacional y en el exterior (las exportaciones no llevan IVA). Es por este motivo por el que a este mecanismo se le denomina devaluación interna, porque tiene los efectos de una devaluación de la moneda cuando el tipo de cambio no lo podemos alterar: aumenta el consumo de bienes nacionales en el interior y en el exterior y reduce las importaciones que comparativamente se hacen más caras. 

¿Es razonable la propuesta?. En realidad no es una propuesta excesivamente arriesgada si se hacen bien los números. Habrá quien piense que toda la reducción de la cotización acabará en forma de beneficios empresariales y que el efecto no acabe trasladándose a los precios. Probablemente ocurra un poco de todo: habrá empresas y sectores con un mayor poder de mercado que puedan sacar más provecho y habrá otros más competitivos donde la única vía de incrementar sus resultados será a través de incrementos de producción. Pero creo que la idea no es mala sobre el papel. Lo difícil puede ser llevarla a término. 

¿Han crecido los beneficios empresariales a costa de los trabajadores?

Parece que forma parte del discurso oficial, de la realidad que todos conocemos: la remuneración de los trabajadores (y los salarios) han caído durante la crisis frente a unos crecientes beneficios empresariales. ¿De verdad es así?

Lo cierto es que con un número de ocupados cada vez menor mantener la remuneración total de los asalariados hubiera supuesto unos incrementos salariales capaces de compensar por la pérdida de empleo. Sabemos que no ha sido así: si bien en los primeros años de la crisis los salarios continuaron subiendo por la mera aplicación de los convenios existentes a partir de la aplicación de la nueva normativa laboral parece que la tendencia se invirtió. En cuanto a las posibles narrativas de fondo tenemos la de los malvados empresarios y gobierno apoyados por la troika y todo lo que se menee que han aprovechado el nuevo marco laboral para conseguir ganar más dinero a costa de los trabajadores. Otra narrativa (que cuadra con las elevadas cifras de desaparición de empresas) también hace compatibles los hechos señalados: si la empresas en pérdidas (con beneficios NEGATIVOS) cierran por la crisis esto tiene dos efectos:

• la suma del total de beneficios empresariales crece puesto que ya no restamos pérdidas de las empresas que han cerrado
• la suma de la nómina total de la economía decrece puesto que los trabajadores han quedado en la calle

Esta segunda narrativa es compatible con un incremento de beneficios y un descenso de salarios sin que uno haya sido a costa del otro sino ambos resultados colaterales del cierre de un sinnúmero de empresas en pérdidas.

Todo esto está muy bien, pero... ¿de verdad han crecido los beneficios empresariales?¿Podemos saberlo?.

En distintos medios se hacen eco de los datos de contabilidad nacional. Por ejemplo aquí.

El problema es que donde figura "beneficios de las empresas" debería figurar la palabra "excedente bruto de explotación". Y ambas cosas no son lo mismo... NI DE LEJOS. Aquí lo expliqué.

Así pues... si el excedente bruto de explotación no son los beneficios de las empresas... ¿tenemos alguna referencia de cuánto pueden ser éstos y cómo han evolucionado durante la crisis?. Traigo aquí dos estimaciones o fuentes de datos alternativas que pueden ayudarnos a hacernos una idea del importe que suponen y su evolución reciente.

La primera fuente es la propia Hacienda, la Agencia Tributaria y los datos sobre Impuesto de Sociedades. En principio las empresas tributan por los beneficios que obtienen. Los beneficios contables no son exactamente iguales que los fiscales pero sin duda son magnitudes muy cercanas. Alguien podrá suponer que si las empresas no declaran todo a Hacienda (fraude fiscal) habrá beneficios encubiertos. La afirmación es totalmente cierta. Sin embargo no parece sensato pensar que haya habido grandes oscilaciones en cuanto al volumen del fraude fiscal en un plazo tan corto: es lógico pensar que sea de una magnitud similar en 2008 que en 2012. Por otro lado también parece lógico pensar que los defraudadores ocultarán beneficios cuando éstos son altos para evitar pagar a Hacienda pero no ocultarán información cuando son bajos o están en pérdidas. En cualquier caso, a falta de esa información podemos utilizar la información de hacienda para ver si las empresas han ido declarando más o menos beneficios durante la crisis. A continuación copio una tabla de aquí (Cuadro 1.3).

Los beneficios declarados a Hacienda han caído pues desde 2008 desde 111.602 millones de € hasta 73.840 millones de €. Un 34% aproximadamente.

La otra fuente de datos sobre beneficios empresariales que presento aquí es la Central de Balances del Banco de España. No se trata ni de una encuesta ni de un censo. Los datos pues no son una muestra aleatoria y hay que tomarlos con mucha cautela ya que es información proporcionada voluntariamente por empresas durante al menos dos años consecutivos. La propia naturaleza de los datos hace pensar que están necesariamente sesgados. Pero sesgados o no, son los que tenemos. ¿Y qué dicen?. Copio la siguiente tabla de aquí (hacer click sobre la imagen para verla más grande):

Como las empresas que participan dan resultados mínimo de dos años las de 2008 dan información comparable para 2007 y 2008, las de 2009 para 2008 y 2009 y así sucesivamente. El número de empresas participantes se indica en la primera línea.

 Si nos vamos a última linea "Resultado Ordinario Neto" podemos ver cómo las empresas participantes declaran todos los años menores resultados en el ejercicio "corriente" que en el anterior con la excepción del año 2010 (¿Tenía razón Elena Salgado con los "brotes verdes"?). En la siguiente tabla he calculado la variación anual de cada año y la he concatenado en un índice con base 100 en el año 2008 para ver si se parece a los datos de la Agencia Tributaria:

El índice de 69 para el año 2012 nos indica que según la Central de Balances del Banco de España los beneficios empresariales cayeron desde 2008 en un 31%. Una cifra muy parecida a la proporcionada por la Agencia Tributaria.

¿Conclusión? Son datos de 2012. Todavía no tenemos los datos de 2013 pero mucho tendrían que crecer las empresas españolas para llegar a los niveles previos a la crisis.

A pesar de las bonitas narrativas (en un sentido o en otro) descritas al comienzo de esta entrada los datos desmienten ambas... porque los datos desmienten la interpretación general. Si bien es cierto que los trabajadores han sufrido muy duramente las consecuencias de los tiempos que nos toca vivir tampoco parece que las empresas estén especialmente boyantes. Y es que una empresa que despide es una empresa que no va bien...

Seguimos a vueltas con los impuestos

Esta tarde se suscitaba una discusión en Twitter a cuenta de la "noticia" sobre un informe de Intermon Oxfam que se puede descargar aquí. No he leído el informe (excepto para asegurarme de que dice lo que los medios dicen que dice, que no se puede fiar uno ya de nada ni de nadie...) pero la afirmación que ha suscitado la discusión tiene que ver con el siguiente dato:

Las familias aportan alrededor del 90% de la recaudación, y las empresas el 10% restante.

Lo que más me ha sorprendido es que alguien considere el dato noticiable. Basta con echar un vistazo a la información que publica la Agencia Tributaria para saber quién y cómo paga impuestos en este país. Es bien sabido que todo tipo de asociaciones y organizaciones necesitan hacerse presentes periódicamente en los medios para lo cual no tienen ningún pudor en hacer refritos de datos de fuentes oficiales u oficiosas y publicarlos como algo novedoso para que se hable de ellos. Por ejemplo, todos los años en el mes de septiembre nos meten la "morcilla" de lo que cuesta la "vuelta al cole" y que tan bien ha comentado Josu Mezo @malaprensa en su blog.

Dicho esto entro a hacer algunas precisiones sin entrar en mucho detalle:

1) En realidad son las familias quienes pagan el 100% de los impuestos en España. Aunque digamos que las "empresas" pagan una parte no dejan estas de ser propiedad de las familias (sí... la familia Botín es una familia y presentan sus declaraciones de IRPF, o eso creo). El dueño de una mercería o de una granja de pollos es una "familia" y en la medida que su empresa paga impuestos vale un poco menos, de modo que en última instancia es una familia la que "paga" el Impuesto de Sociedades. No obstante continuaremos hablando de empresas que pagan impuestos for the sake of the argument.

2)En el informe señalado anteriormente se desglosan las bases imponibles  de los hogares y de las empresas:

En la tabla se puede observar como en la parte de "Rentas antes de impuestos" (bases para impuestos directos) son de 553.614 millones de € como renta bruta de los hogares y 73.840 millones de € como base imponible (beneficios) de las empresas. (Atención: no confundamos el culo con las témporas en este punto; renta bruta de los hogares incluye tanto rentas del trabajo de familias trabajadoras como otro tipo de rentas incluidas las percepciones de dividendos pagados por las empresas a sus accionistas).

Hagamos la lectura del cuadro anterior: en cuanto a bases para impuestos directos (IRPF  e IS) el 89% de la renta antes de impuestos la perciben los hogares y el 11% restante lo constituyen los beneficios consolidados empresariales. ¿A que el dato de Oxfam ya no parece que sea tan raro?

Pero claro... sólo he hablado de los impuestos directos. Luego están los indirectos como el IVA que gravan el consumo. ¿Cómo quedan las cuentas al final?. En el mismo informe aparecen también los cuadros de tipos de gravamen (qué porcentaje de las bases se pagan finalmente) y la cantidad recaudada. Las muestro a continuación:

Los hogares pagan un 12,5% de la renta bruta que perciben y las empresas un 19,3% de sus beneficios. El IVA supone al final un 13,4% del consumo y los impuestos especiales un 21,8%. Y sí... el impuesto sobre sociedades no suma más que 14.229 millones de € respecto a un total de impuestos devengados de 153.966 millones de €; algo menos del 10%. También es verdad que la suma de todos los beneficios empresariales no llega a la mitad de todo lo que se recauda vía impuestos en España. 

Pero aquí también falta algo. Por ejemplo los ingresos públicos derivados de cotizaciones sociales no figuran aquí puesto que no se trata formalmente de impuestos (aunque en realidad se tratan de impuestos sobre el trabajo lo cual no deja de aportar una perspectiva interesante aplicada al problema del paro). Y las empresa cotizan un porcentaje superior al 30% de lo que constituye el importe de las nóminas brutas. (Aunque las empresas coticen estaría bien saber quien es realmente el pagano: ¿podrían ser los salarios más altos o haber más gente trabajando con porcentajes inferiores? Dejaremos esta cuestión para otro día). 

Hasta aquí una mera exposición de los datos que se pueden encontrar fácilmente. A continuación me gustaría señalar una cuestión en relación al argumento esgrimido por @jzamorabonilla en la discusión en Twitter:

 Vamos a poner un ejemplo por el que creo que dicho argumento es falso. Supongamos que un profesional puede hacer una operación comercial por la que va a ganar 100.000€. Supongamos que puede hacerlo de forma personal y dicho importe se sumará a su renta y pagará IRPF. El tipo marginal del IRPF para ese nivel de renta es actualmente del 47%. Tiene también la oportunidad de hacerlo a través de una empresa. La empresa paga el 30%. Aparentemente le conviene realizar dicha operación a través de la empresa ya que un 30% es inferior al 47%. Pero ¡ojo!, si luego quiere llevarse el 70% restante a su casa ¡tiene que volver a tributar en su IRPF! esta vez como rentas del capital que actualmente tienen una tarifa ligeramente progresiva entre el 21 y el 27%. Si hacemos las cuentas en una hoja de cálculo veremos que el resultado final es muy parecido: un 49% de impuestos.

Si las rentas del capital tributaran igual que las rentas del trabajo los tipos impositivos serían más altos de los correspondientes. En el mejor de los casos el 30% de IS añadido a un 21% sobre las rentas del capital supone un 44.7% en total o un 48.9% como máximo, muy cercano a los tipos máximos de las rentas del trabajo para rentas de más de 175.000€ anuales.

Dicho de otra manera: si mi vecina doña Marina, pensionista y con recursos limitados cobra el dividendo de unas acciones que le dejó su marido paga el 21% como rentas del capital de unos beneficios que han tributado previamente al 30%... esto es, al final ha pagado el 44,7% de impuestos respecto a lo que le correspondía como accionista de dicha empresa.

Efectivamente la progresividad es muy pequeña... ¡pero porque los tipos efectivos, lo que se lleva Hacienda, son altos!.

Sobre la impredictibilidad del futuro

Creo que fue Bohr quien dijo "Hacer predicciones es muy difícil, especialmente cuando se trata del futuro". ¡Y qué voy a decir yo, como economista!.

Hoy he leído este artículo de Hites Ahir y Prakash Loungani titulado

“There will be growth in the spring”: How well do economists predict turning points? donde se describe con bastante crudeza la habilidad para predecir recesiones, esto es, rupturas en la dinámica de los modelos económicos. Resumiendo: cero. Alguno acierta, pero sospecho que forma parte del error estadístico. Es cierto que predecir un accidente, una ruptura es casi imposible ya que normalmente son shocks externos, variables no controladas las que acaban provocando situaciones no esperadas. Por supuesto, predecir cosas "normales" es mucho más fácil y es cierto que los modelos ayudan a hacerlo con mucha mayor precisión.

Es complicado pues, pero... ¿acaso predecir el futuro es algo que hacen mejor otras disciplinas?. Habría que definir primero qué consideramos por predecir el futuro y cómo vamos medir la precisión de una predicción. Pongamos el ejemplo típico: ¿qué es más preciso: un reloj adelantado o uno que está parado?. El reloj parado da la hora exacta dos veces al día mientras que el reloj adelantado no la da nunca...

Luego está la cuestión del ceteris paribus, esto es, manteniendo todas las variables constantes y controladas. Claro, podemos predecir un eclipse pero no diremos que la predicción ha fallado si un asteroide gigante alcanza la Luna y la manda a hacer puñetas... ¿no?. Era una variable no controlada... (de las que desgraciadamente hay tantas).

Pero vamos al grano: ¿Puede la física moderna predecir la trayectoria de una embarcación a vela mejor que, pongamos por caso, un paisano viendo el barco pasar?. La física puede estudiar efecto del rozamiento del casco, utilizar predicciones sobre ráfagas de viento (¿de verdad?), estudiar el efecto de sustentación aerodinámica de la vela, etc. Y calculará una trayectoria. El paisano sabe que el barco compite en una regata y puede predecir que el barco girará en el momento que sobrepase la boya. Y no necesita hacer ningún cálculo para hacer una predicción mucho más precisa.

Hacer predicciones en sistemas abiertos (como lo es el velero regatista o la marcha de una economía) es muy complicado. Y el problema no es sólo de modelos; es un problema mucho más grave ya que no se trata sólo de mejorar la precisión de las variables que conocemos: es que no sabemos siquiera qué información necesitamos controlar.

Matrices, determinantes y la invención del dinero

El dinero no es una idea moderna: se ha inventado ya docenas de veces. Algunas razones para que esto haya sido así son más evidentes y otras son aparentemente más oscuras. Por ejemplo se puede sostener que el dinero desde un punto de vista tecnológico no es más que una forma primitiva de memoria [1]. 

Aunque las ventajas de la utilización del dinero frente a la alternativa de una economía de trueque son más que evidentes me gustaría esbozar aquí una de ellas. La idea además puede utilizarse como un caso práctico para introducir los conceptos de matrices, determinantes y rango de una matriz para estudiantes de bachillerato.

Vamos a suponer que nos encontramos en una isla donde sus habitantes producen tres tipos de bienes: cocos, paño y azadas. No conocen el dinero y su economía se basa por completo en el trueque. Para poder comerciar entre ellos necesitamos saber cuántos cocos son necesarios para intercambiar por un pedazo de paño, cuántos cocos se necesitan para conseguir una azada y cuántos paños son necesarios para hacerse con una azada. Vamos a poner cifras para poder seguir la explicación:

• puedo cambiar 2 cocos por un pedazo de paño
• puedo cambiar 5 cocos por una azada
• puedo cambiar 5 paños por.... UN MOMENTO.... ¿sabemos por cuántas azadas puedo cambiar 5 paños?

La operación es sencilla. Si por 1 paño obtengo 2 cocos, por 5 paños me darán 10 cocos. Con 10 cocos puedo comprar 2 azadas, luego la relación de cambio paños-azadas es de 5 a 2. ¿Qué ha pasado aquí?. Lo que ocurre es que las relaciones de intercambio de bienes uno a uno NO son independientes sino que vienen determinadas por otras relaciones de intercambio. De todos modos hemos dicho que los habitantes de la isla no conocen el dinero, pero esto no es del todo cierto: hemos calculado el precio del paño y las azadas en cocos para poder deducir una relación de intercambio "justa". Hemos utilizado los cocos como numerario, esto es, como dinero. 

De hecho podemos representar la matriz de la relaciones de intercambio donde indicamos cuántas unidades de cada fila son necesarias para obtener una unidad de cada columna:

	Cocos	Paño	Azada
Cocos	1	2	5
Paño	0,5	1	2,5
Azada	0,2	0,4	1

Si os fijáis bien con sólo 2 cifras (el 2 y el 5 de la primera fila) es posible construir el resto de matriz. Pero claro, esto es suponiendo que no existen posibilidades de arbitraje. ¿Qué es el arbitraje?

Supongamos que un habitante de la isla anuncia que cambia 5 azadas por 10 piezas de paño ("¡Oferta! Pague 4 y llévese 5"). Al vecino de al lado le sobran 40 cocos y un poco de tiempo para pensar. Decide acudir al pueblo y cambia los 40 cocos por 20 trozos de paño. A continuación se los cambia al vecino por 10 azadas. De las 10 toma 8, vuelve al pueblo y las cambia por sus 40 cocos iniciales: ha ganado 2 azadas sólo por comerciar astutamente y conocer las relaciones de intercambio. En este caso la matriz de relaciones de intercambio sería la siguiente:

	Cocos	Paño	Azada
Cocos	1	2	5
Paño	0,5	1	2
Azada	0,2	0,5	1

Este caso es muy sencillo ya que solamente aparecen 3 bienes y es muy fácil detectar errores de valoración. De hecho lo hemos hecho de forma intuitiva. Pero... ¿qué pasa si en lugar de 3 bienes tenemos docenas, o centenares o miles de bienes distintos?. En ese caso la matriz se hace inmensa. Pero... ¿hay algo en las matrices que nos permita reconocer si los precios están bien puestos y hay posibilidades de arbitraje?. La respuesta es que sí y que es algo que se estudia en matemáticas de bachillerato (C.O.U. en mi época).

Analicemos las dos matrices (llamémoslas A y B). Ambas son de dimensión 3x3, pero no son números puestos al azar. Los elementos de la diagonal siempre son "1" (lo de cambiar duros por cuatro pesetas no lo contemplamos), y los elementos por debajo de la diagonal son los inversos de sus simétricos por encima: la relación de intercambio cocos-paños es la inversa de la relación paños-cocos. La diferencia fundamental está en que la matriz A hemos podido construirla completamente partiendo de sólo dos números (las relaciones de intercambio de los cocos) esto es, con sólo la primera fila. Una vez determinada esa fila podemos construir la matriz entera.  En el caso de la matriz B hemos modificado uno de sus elementos (y su simétrico). ¿Y qué demonios tiene esto que ver con las matemáticas?. Vamos a ello:

Una de las cosas que se aprenden al empezar a trabajar con matrices es el concepto de rango de una matriz. Si recordáis se definía como el número máximo de filas (o de columnas) linealmente independientes de una matriz. ¿Y cuál es el rango de las matrices anteriores?. Lo que voy a mostrar es que el rango de la primera matriz es 1 y el de la segunda matriz es superior (en este caso es de rango 3). Y que en general, si tuviésemos una matriz arbitrariamente grande podríamos detectar si existen posibilidades de arbitraje calculando el rango de la matriz de las relaciones de intercambio. 
 
El método que a mí me enseñaron para calcular el rango de una matriz era el llamado método de los determinantes. (Hay otros métodos más sencillos para matrices muy grandes como el método de Gauss, pero olvidémoslo de momento). El determinante de una matriz no es fácil de definir de forma intuitiva (o por lo menos yo no sé hacerlo) pero tendría algo que ver con un volumen asociado a la misma (no es propiamente un volumen ya que un determinante puede ser negativo y se me hace difícil digerir ese concepto). De momento basta con que sepamos que:

• el determinante sólo puede calcularse sobre matrices cuadradas (como es el caso)
• es un escalar, un número. 
• un menor de una matriz es el determinante de otra matriz que se construye eliminando filas y columnas de la matriz original.
• el rango de una matriz será el número máximo de filas (o columnas) para el que existe un menor distinto de cero.

Vamos a calcular el rango de la matriz A (para el cálculo de los determinantes se puede consultar la Wikipedia o utilizar la función MDETERM() de la hoja de cálculo):

¿Rango 3?
	A
		Cocos	Paño	Azada
	Cocos	1	2	5
	Paño	0,5	1	2,5
	Azada	0,2	0,4	1
	Determinante	0,00
¿Rango 2?
	Menor 1
		Paño	Azada
	Paño	1	2,5
	Azada	0,4	1
	Determinante	0,00
	Menor 2
		Cocos	Azada
	Cocos	1	5
	Azada	0,2	1
	Determinante	0,00
	Menor 3
		Cocos	Paño
	Cocos	1	2
	Paño	0,5	1
	Determinante	0,00
¿Rango 1?
	Menor 4
		Cocos
	Cocos	1
SÍ	Determinante	1,00

 

Hemos ido eliminando filas y columnas (primero de una en una y luego de dos en dos) y calculando el determinante hasta que nos ha salido uno distinto de 0. El rango es 1, tal y como habíamos predicho. A continuación vemos cómo el rango de la matriz B es 3 ya que el determinante de B no es 0:

¿Rango 3?
	B
		Cocos	Paño	Azada
	Cocos	1	2	5
	Paño	0,5	1	2
	Azada	0,2	0,5	1
	Determinante	0,05

El rango es 3 y no 2 por una sencilla razón: hemos modificado dos elementos de la matriz, la relación paño-azada y su simétrica. Si hubiésemos mantenido el 0,4 para la relación de intercambio azada-paño que aparecía en la matriz A el rango hubiése sido 2.

Una vez visto que calcular determinantes y saber qué es el rango de una matriz tiene su utilidad práctica vamos a señalar un par de cosas más:

La invención del dinero (y su función como numerario) evita tener que llevar el control de todas las posibles relaciones de intercambio. En realidad es como disponer de una de las filas de la matriz a partir de la cual podríamos obtener la matriz entera. El papel del dinero es algo así como un denominador común para todas las mercancías. 

Este tipo de análisis de operaciones de arbitraje (pero mucho más sofisticados) se realizan continuamente en los mercados financieros de derivados donde es posible simular unos productos combinando otros. Los errores de valoración son rápidamente detectados por sistemas informáticos que tratan de aprovecharse de ellos de una forma que recuerda el ejemplo que hemos puesto aquí.

Parece sensato que el dinero pueda fraccionarse en unidades pequeñas (la calderilla, vamos) para poder denominar con él todos los bienes. Si aparecen muchas unidades fraccionarias es posible que para hacer "trueques" haya que aplicar redondeos. Esto puede ser una buena historia para explicar los números primos entre sí.... pero eso lo dejamos para otro día.


[1] Narayana R. Kocherlakota (1996). Money is Memory. Federal Reserve Bank of Minneapolis Reseach Department Staff Report 218

Sobre el IVA, Vokswagen, Navarra, el Convenio y la empanada mental de muchos

Hace un par de años se originó cierta polémica en torno a las cuentas de la Hacienda Foral de Navarra y "el IVA de Volkswagen" donde desde todas las ideologías se han dicho muchas cosas y no todas ciertas o bien informadas.  

El origen de la polémica se suscitó a partir de la modificación de la operativa de la factoría de Volkswagen en Pamplona. Antiguamente dicha factoría vendía (con IVA) los vehículos a otra empresa del grupo (VAESA) quien a su vez los exportaba (sin IVA) desde Cataluña. La sensación que se daba es de que Navarra estaba cobrando injustificadamente unos importes a costa del resto del erario. Pues bien, el objetivo de esta entrada no es otro que el de mostrar que quienes así piensan:

1. Desconocen qué es el IVA, qué es lo que se grava y quién lo paga y 
2. Desconocen Convenio Económico de Navarra con el Estado.

Vaya por delante que esto no es una cuestión ideológica. De hecho si me lo preguntan a mí soy de los pocos navarros que no está de acuerdo con el actual sistema y sería mucho más partidario de una armonización fiscal a nivel supranacional por lo menos en lo relativo a las normas tributarias.

Punto 1: ¿Por qué desconocen qué es el IVA?

Según la Ley del IVA en su artículo 1:

Artículo 1. Naturaleza del impuesto.

El Impuesto sobre el Valor Añadido es un tributo de naturaleza indirecta que recae sobre el consumo y grava, en la forma y condiciones previstas en esta Ley, las siguientes operaciones:

a) Las entregas de bienes y prestaciones de servicios efectuadas por empresarios o profesionales.

b) Las adquisiciones intracomunitarias de bienes.

c) Las importaciones de bienes.

Es pues el IVA un impuesto sobre el consumo, esto es, que somos Vd. y yo cuando compramos cosas quienes lo pagamos en última instancia. El IVA sin embargo convierte a la empresa que vende en recaudadora del impuesto. Pongamos un ejemplo: supongamos que un agricultor recoge unas naranjas, se las vende a un frutero y el frutero me las vende a mí. Pongamos que el agricultor no tiene gastos (es un ejemplo, no se me subleven las huestes del agro) y las vende a 100€ con un 10% de IVA. El frutero me las vende a mí a 200 y me cobra otro 10%. Tal y como funciona el IVA el resumen es el siguiente:

-el agricultor cobra 10€ de IVA al frutero y los ingresa en hacienda. Todo lo que cobra de IVA lo paga.
-el frutero me cobra los 20€ de IVA y descuenta los 10€ que ha pagado al frutero, ingresando 10€ en Hacienda. Todo lo que paga (10 al agricultor y 10 a hacienda) se cancela con todo lo que cobra (20 a mí)
-yo pago 20€ de IVA al frutero pero no presento ninguna declaración a hacienda. El frutero ha hecho de recaudador.
-hacienda cobra indirectamente los 20€ que yo he pagado (10 del frutero y 10 del agricultor)

Dado que el impuesto trata de recaudar un porcentaje sobre el consumo en un territorio se establece que las exportaciones queden exentas de IVA ya que significaría recaudar sobre un consumo que se produce fuera de nuestras fronteras. De forma similar las importaciones deben soportar el IVA puesto que se trata de consumo en nuestro territorio.

En el caso de Volkswagen, esta vendía con IVA los coches a VAESA y puesto que tributaba en Navarra dicho importe era ingresado en las arcas forales. Como VAESA exportaba los coches al extranjero no aplicaba el IVA de modo que al pagarlo (a Volkswagen) y no cobrarlo la declaración de IVA le salía a devolver: la Hacienda del Estado tenía que devolver a VAESA el IVA satisfecho por sus compras a la Volkswagen navarra.

Lo contrario ocurre también cuando se importa un bien. Supongamos una empresa catalana que importa un coche de Alemania ingresa una importante cantidad de IVA en la hacienda española. Aunque luego se lo venda a una empresa navarra ésta pagará a la Hacienda Foral solamente la diferencia entre el IVA satisfecho a la empresa catalana y el pagado por el consumidor navarro: ¡un importe muy inferior al que correspondería por consumo!.


Así pues, para hacer bien las cuentas habría que tener en cuenta cuánto se consume en Navarra y cuánto y cómo se recauda en Navarra y en el Estado por cuenta de las importaciones. La cantidad recaudada en Navarra no se acerca ni de lejos a la cantidad que teóricamente debería recaudar en base al consumo de esta comunidad. De hecho... las cuentas ¡se hacen bien! y es aquí donde llegamos al

Punto 2: Cómo funciona el Convenio Económico.

Dado que el IVA recaudada por la Hacienda Foral es MUY INFERIOR al IVA satisfecho en total por los  CONSUMIDORES NAVARROS es preciso pues realizar un ajuste. Dicho ajuste está previsto en el Convenio.

Tampoco es que yo sea un experto en el tema, pero basta con darse una vuelta por el texto del mismo para darse cuenta de que quienes lo redactaron y acordaron no eran una banda de indocumentados. De hecho, el artículo 65 del mismo establece cómo deben realizarse esos ajustes. En 2012 la cifra de los ajustes por IVA supuso ¡483 millones de euros!. 483 millones que LOS NAVARROS pagamos de nuestro bolsillo y que fueron ingresados en la Hacienda Estatal. El ajuste fiscal solamente DEVUELVE ese importe a la Hacienda Foral.

Dicho de otra manera: no es Volkswagen quien paga o deja de pagar el IVA en Navarra o en el Estado. El IVA lo pagamos los consumidores y lo ideal sería que Navarra recaudase una cifra de IVA correspondiente a su nivel de consumo. Lamentablemente la Hacienda Foral recauda SIEMPRE una cifra de IVA MUY INFERIOR a la que le correspondería por ese concepto de modo que hay que realizar ajustes muy importantes. De la misma manera, la Hacienda Foral recauda todos los años una cifra muy superior a la que le corresponde por el Impuesto Especial de Fabricación sobre el Alcohol y Bebidas Derivadas y Productos Intermedios y tiene que realizar un ajuste en sentido contrario (hacia la hacienda estatal) bastante elevado (cerca de 50 millones de € en 2012).

A mí no me gusta, pero así son las cosas.

Una reflexión sobre la sanidad pública

Hace ya un tiempo José Luis Ferreira publicó un artículo en su blog titulada ¿Qué entendemos por sanidad pública?. En él proponía un escalado en el concepto de sanidad pública desde el seguro médico obligatorio hasta la titularidad pública de los servicios sanitarios y animaba a analizar cada una de las opciones en base a la evidencia sin juicios apriorísticos (algo que por otro lado es su, nuestro, caballo de batalla).

Lo cierto es que cuando construimos un hospital público lo construyen empresas privadas, llámense ACS, Sacyr o Construcciones Gualberto y Jacinto S.A. La fontanería la instala una empresa privada y los alicatados de los baños también. El equipamiento de los quirófanos lo suministran empresas privadas, así como las camillas de los paritorios. Los ecógrafos, TAC, etc. los proveen empresas privadas. Los análisis de sangre se suelen hacer en el propio laboratorio pero las agujas, tubos, kits de reactivos, ELISAs, en definitiva, todo lo necesario para equipara el laboratorio y hacer las analíticas lo proveen empresas privadas. Y las camas, y las propias sábanas de las camas. Cada bisturí que se utiliza, las grapas para cerrar cicatrices, las bombillas de cada quirófano: todo son compras a empresas privadas. Los pañales de los recién nacidos y los biberones de suero glucosado. Los uniformes de los ATS, las mascarillas del personal de la planta de enfermedades infecciosas, todo lo hacen empresas privadas. Y los antibióticos, vacunas, medicinas de todo tipo son también productos elaborados por empresas privadas. Y el esparadrapo, las jeringas, las escobas, guantes de látex, bolígrafos, ordenadores, ventanas, jabón.... todo se compra al sector privado.

¿Qué hay de público pues en la sanidad pública?. ¿Que el personal pertenece al estatuto de la función pública en lugar de pertenecer al estatuto de los trabajadores?. ¿Que la gestión pública, si ha de distinguirse de la privada, mira menos los gastos haciendo felices a sus proveedores?.

Lo único público es la gratuidad y universalidad del servicio y en mi opinión es lo único que hay que defender fijando claramente las coberturas y la calidad del servicio. Lo demás creo que que no es más que demagogia para defender intereses personales bastardos.

¿Quieres invertir conmigo?

Tengo una propuesta que hacerte. Un gran negocio. Mira, es muy sencillo: tú depositas 1000€ en una cuenta a mi nombre. Yo el primer día te ingresaré en la cuenta el 20% del saldo que haya, y al día siguiente retiraré el 19%. De esta manera cada dos días ganas un 1% (el 20 que te doy menos el 19 que te quito al día siguiente), así durante un año. Al cabo de un año te traspasaré todo lo que haya en la cuenta. ¿Aceptas?... Bueno... vale: te prometo que el último día coincidirá con un pago mío de un 20%. ¿Te parece bien?

Yo me lo pensaría bien. El problema con los porcentajes es que la mayor parte de las veces no pueden sumarse o restarse directamente tal y como yo he hecho (20 - 19), ya que la base sobre la que se calculan es distinta. Lo mismo que con los porcentajes (y por el mismo motivo) ocurre con las tasas de crecimiento: ¿algo que sube el 10% y después baja el 10% se quedará igual?.

Veamos qué pasa en el negocio propuesto:
El primer día ingresas 1.000€ y yo cumplo mi parte del trato: pongo 200€ dejando 1.200€ en la cuenta. Al día siguiente retiro el 19%... ¡de 1.200€!, esto es, 228€, dejando en la cuenta 972€. De nuevo al día siguiente vuelvo a poner el 20% de 972€: 194.4, dejando la cuenta en 1.166,4€, y así sucesivamente. Al cabo de un año en la cuenta quedarán aproximadamente 48,74€. ¿Qué ha pasado aquí?.

Básicamente lo que ocurre es que el rendimiento medio de la "inversión" no se calcula mediante la media aritmética (20 - 19)/2 = 0,5 cada dos días, sino que habría que calcular la media geométrica del factor que se aplica cada día, esto es, la raíz cuadrada de 1,2 x 0,81 = 0,9859. Cada dos días se pierde un 1,41%  (1 - 0,9859) del saldo que haya en la cuenta.

Excedente Bruto de Explotación NO son beneficios empresariales

Vaya por delante que no soy un experto en contabilidad nacional ni en estadísticas oficiales. No obstante a veces se leen cosas que no me resigno a dejar pasar. En concreto hoy me refiero a este artículo de El Confidencial y más concretamente a la gráfica que lo acompaña y que aquí reproduzco.

El principal problema del gráfico mostrado es que su autor ha "reinterpretado" los conceptos que se utilizan en contabilidad nacional y pueden llevar a error al lector. Hay varios errores que señalo a continuación:

1. La distribución que señala no es propiamente del PIB sino de la Renta Nacional Bruta. Es cierto que son conceptos casi equivalentes pero si atendemos a una división por tipos de renta es mejor llamar a las cosas por su nombre. Para quien sepa algo de música es como si alguien llama a un Re bemol, Do sostenido... suena la misma nota pero armónicamente uno tiene sentido y el otro no. Menudencias. 
2. Lo que denomina "Rentas salariales" en realidad es "Remuneración de los asalariados" e incluye conceptos como las cotizaciones a la seguridad social por parte de la empresa o pagos en especie.
3. La parte de "Impuestos" se refiere solo y exclusivamente a "Impuestos netos de subvenciones sobre la producción y las importaciones". No cuentan todos los impuestos sino solo los que gravan la producción e importaciones.
4. ¿Beneficios empresariales? Aquí es donde la imaginación del autor se desboca. El concepto en contabilidad nacional es "Excedente bruto de explotación / Renta Mixta Bruta". ¿Es este concepto equivalente al de "Beneficios Empresariales"? La respuesta es que no... ni de lejos. Según el Handbook of Quarterly National Accounts que es el documento de referencia para la elaboración de las cuentas nacionales en Europa vemos que este capítulo se descompone en muchas partidas (páginas 112 y 113 del documento anterior): beneficios de empresas públicas, intervenidas, locales, de empresas privadas, intereses cobrados por gobierno y familias y rentas y alquileres percibidos O imputados. 

Los alquileres imputados son una estimación de lo que valdría el alquiler de la vivienda que una persona tiene en propiedad: yo he pagado mi casa y a cambio me beneficio de su uso durante años sin pagar por ello. Esos alquileres imputados se consideran renta de las familias y en España suponen mucho dinero puesto que el porcentaje de vivienda en propiedad es muy alto. (Se puede consultar en la Encuesta de Presupuestos Familiares. A grosso modo viene a sumar 2.400€ por persona y año).

 Para que nos hagamos una idea, si el Excedente Bruto de Explotación es de aproximadamente 465.000 millones de € sólo los alquileres imputados a las familias están cerca de 100.000 millones. Con lo que nos quedan para el resto de partidas unos 365.000 millones. 

¿Son los beneficios empresariales pues de 365.000 millones?. No. Faltaría eliminar alguna de las partidas que he enumerado (intereses y otras rentas) pero sobre todo hay una partida que falta y que es muy, pero que muy gorda. Me refiero a las amortizaciones o como se llaman en contabilidad nacional "Consumo de Capital Fijo", esto es, el valor que pierden por su uso, consumo o paso del tiempo todos aquellos elementos destinados a producir, desde las máquinas, las fábricas, los camiones o las carreteras. Todavía no hay una estimación de dicha cifra para 2013, pero en 2012 fue de 169.000 millones de €. Y eso hay que restarlo. De hecho, cuando se restan las amortizaciones a la Renta Nacional Bruta obtenemos la Renta Nacional Neta, que es un valor muy cercano ya a la Renta Disponible. 

Así pues, nos queda un valor inferior a los 200.000 millones de € como cifra candidata a acercarse a los "Beneficios Empresariales". Hay que tener en cuenta que dicha cifra incorporaría las rentas de actividades profesionales y empresariales (autónomos), beneficios de empresas públicas y un largo etc. 

Espero que haya quedado claro el título del post: Excedente Bruto de Explotación NO son beneficios empresariales.

Encuestas y censos

Mañana sale la Encuesta de Población Activa (la EPA) y conoceremos los datos del mercado de trabajo del último trimestre de 2013. Para quien tenga un poco de memoria los datos le chirriarán respecto a la publicación que se hace mensualmente del paro registrado y de cotizantes a la Seguridad Social. Son fuentes distintas y los números discrepan.

La principal diferencia estriba en que el paro registrado se corresponde a una lista donde están (teóricamente) apuntados todos los desempleados mientras que el dato de la EPA es una encuesta que se hace a 60.000 individuos. Hasta aquí nada chocante excepto que creemos que los datos EPA (la encuesta) son mejores que los del SEPE (censo de parados). Además la EPA aporta muchísima más información, con los datos mucho más detallados. Hay gente que ha explicado esto mucho mejor de lo que yo pueda llegar nunca a hacer, de modo que no voy a extenderme más en este tema. Lo que me gustaría contaros hoy es un poquito de la historia del muestreo representativo que es lo que en definitiva está detrás de la elaboración de una encuesta.

Antes de que la probabilidad y el muestreo aplicado a las encuestas cruzaran sus caminos existían censos. Los estadísticos del siglo XIX realizaban detallados y costosísimos estudios sobre distintas áreas, regiones e incluso países. Las estadísticas eran concienzudas y la toma de datos una tarea de chinos. La forma de trabajar era la enumeración completa. (Si alguien tiene curiosidad, el INE tiene abierto el acceso a su Anuario Estadístico desde 1858.)

En algún momento a alguien se le ocurrió que si en lugar de analizar a toda la población se pudiese analizar solamente a un grupo representativo más pequeño se podría estudiar más concienzudamente y extrapolar los resultados a la población en general. La cuestión era: ¿y cómo determinamos a ese grupo representativo?. ¿A qué llamamos representativo?.

En nuestra forma de ver el mundo usamos de hecho algún tipo de muestreo (no necesito probar todas las uvas para saber que están dulces). En las ciencias naturales las muestras se trataban como si fuesen aleatorias, pese a no existir todavía una teoría sólida respecto al muestreo. Incluso en ciencias sociales se hacían estudios puntuales (limitados a zonas muy pequeñas o a sectores muy definidos) con la idea de extrapolar los resultados. Sin embargo, la primera vez que alguien propuso el muestreo representativo fue el estadístico noruego Kiaer en la reunión de 1895 en Berna International Statistical Institute (ISI) donde presentó su artículo Observation et expériences concernant des dénombrements représentatifs. La verdad es que la propuesta de Kiaer distaba todavía mucho de lo que hoy entendemos por un muestreo representativo y no fue especialmente bien acogida por parte de sus colegas. Esto es lo que decía uno de ellos (Georg von Mayr):

... creo que el punto de vista del trabajo de Kiaer es muy peligroso. Entiendo que las muestras representativas pueden tener algo de valor pero es un valor restringido a lo que ya sabemos por la enumeración completa. Uno no puede reemplazar la observación de los hechos con cálculos. Una muestra proporciona valores estadísticos para aquellas unidades que han sido observadas, pero no valores estadísticos verdaderos para toda la población.

Es especialmente peligroso proponer el muestreo representativo entre un montón de profesionales de la estadística. Puede tal vez tener usos a efectos administrativos o legislativos, pero uno no debe olvidar que no puede reemplazar a una enumeración completa. Es necesario añadir aquí que hay entre nosotros estos días una corriente en las mentes de los matemáticos que quiere que calculemos en lugar de observar. Debemos mantenernos firmes y decir: nada de cálculos cuando se pueden hacer observaciones.

Lo cierto es que Kiaer apenas hablaba de probabilidad, ni de matemáticas en su trabajo. De hecho el método representativo propuesto no se parece en nada al muestreo aleatorio que conocemos hoy. Kiaer sugería localizar zonas (calles, pueblos, ciudades) cuyos datos medios conocidos en censos fuesen cercanos a la media y barrerlos sistemáticamente extendiendo la muestra si era necesario. Proponía un muestreo dirigido que como hoy bien sabemos puede adolecer de graves sesgos y deficiencias.

Kiaer no se quedó ahí. Siguió trabajando sobre el método representativo y proponiendo mejoras al mismo. Lo hizo en las reuniones del ISI en San Petersburgo 1897, Budapest 1901 y Berlin 1903. Aunque Kiaer no tenía un modelo probabilístico detrás de sus ideas otros estadísticos como Von Bortkiewicz o March sí que añadieron dicho enfoque.

Hubo otros autores que trabajaron sobre distintas variantes del método representativo pero curiosamente en las reuniones del ISI desde 1903 hasta 1925 no se volvió a tocar el tema. Sí que hubo aportaciones importante especialmente por parte de Chuprov (sobre la estructura probabilística del muestreo) y Bowley (sobre errores de muestreo; casi llegó a formular el concepto de intervalo de confianza). Sorprendentemente en 1925 la opinión mayoritaria era favorable a la legitimidad del muestreo representativo. En esa ocasión se definieron dos métodos alternativos:

• el muestreo aleatorio, donde cualquier elemento de la población tiene la misma probabilidad de ser elegido y
• muestreo deliberado: elegir grupos de elementos que se consideran representativos y enumerarlos completamente.

En 1934 Neyman escribe On the two different aspects of the representative method: the method of stratified sampling and the method of purposive selection  donde literalmente se carga el muestreo deliberado señalando sus importantes deficiencias. A partir de ahí el camino estuvo claro: el muestreo aleatorio.


Fuente: Representative Sampling, IV: The History of the Concept in Statistics, 1895-1939 (William Kruskal and Frederick Mosteller) International Statistical Review / Revue Internationale de Statistique, Vol. 48, No. 2(Aug., 1980), pp. 169-195

Sobre la paradoja del ascensor

No sé si conocéis a Clara Grima. Matemática con un algo de show-woman que la hace francamente divertida. Sus artículos de divulgación en distintos medios son muy recomendables y en especial si te gustan las matemáticas.

Dicho ésto, hoy he leído un artículo suyo (que conviene leer para entender lo que viene a continuación) sobre la paradoja del ascensor que me ha dejado un poco pensativo y que ha motivado lo que voy a escribir a continuación. Vamos allá:


Clara afirma que:

"... si suponemos que los ascensores se mueven de forma uniforme a lo largo del edificio y estamos en la 2ª planta de un edificio de siete, como aquel en el que trabajaban Gamow y Stern, tenemos más plantas por arriba que por abajo, con lo cual, la probabilidad de que el ascensor esté en una planta superior cuando lo llamamos es más alta que la probabilidad de que esté en una planta por debajo nuestra. Y al revés."

En realidad la sentencia anterior es cierta si se se cumple la condición  "suponemos que los ascensores se mueven de forma uniforme a lo largo del edificio". Claro... si los ascensores suben y bajan de la planta baja al último piso continuamente el razonamiento anterior es cierto. Sin embargo no es así como se usan normalmente los ascensores. La gente los utiliza normalmente para subir hasta su planta (y no más arriba) y para bajar hasta la planta baja.

Pongamos un ejemplo. Supongamos un edificio de 11 plantas (lo hago así para simplificar los cálculos) en el que en cada piso vive un vecino. El vecino utiliza el ascensor para subir y para bajar. Lo cierto es que no puede subir si no está en la calle y no puede bajar a la calle si no ha subido primero: la mitad de sus viajes en ascensor serán de subida y la otra mitad de bajada. De modo que cada vecino deja el ascensor la mitad de las veces en su planta y la otra mitad de las veces en la planta baja.

La probabilidad de que un vecino encuentre el ascensor más arriba de su planta será pues la probabilidad de que el anterior vecino que ha cogido el ascensor viva por encima multiplicado por la probabilidad de que ese viaje fuese de subida (un 50%).

Así pues las probabilidades de que el ascensor esté más arriba serían:

Para el vecino de la planta 11: 0.0 x 0.5 = 0%
Para el vecino de la planta 10: 0.1 x 0.5 = 5%
...
Para el vecino de la planta 2: 0.9 x 0.5 = 45%
Para el vecino de la planta 1: 1 x 0.5 = 50%

Esto es, para el vecino de la planta 1 es tan probable que el ascensor esté en la planta baja como en un piso situado por encima de él. Para todos los demás es más probable que el ascensor venga de abajo.

Y hasta aquí mi ida de olla del día.

La correlación no es transitiva

No sé si recordaréis aquellas clases de matemáticas donde nos hablaban de una propiedad que cumplían algunas relaciones denominada propiedad transitiva. Un ejemplo donde se cumple la propiedad transitiva es en la relación de igualdad: 

• si A = B y B = C, entonces A = C. 

Otro ejemplo es la relación "mayor que": 

• si A > B y B > C, entonces A > C

Hay otras relaciones que no cumplen la propiedad transitiva como por ejemplo la relación de desigualdad: si A es distinto de B y B es distinto de C no podemos decir nada sobre si A es o no distinto de C.

Otro ejemplo: si Luis es hermano de Carlos y Carlos es hermano de Pepe ¿es Luis hermano de Pepe?. Si contestamos a bote pronto seguramente contestaremos afirmativamente aplicando la propiedad transitiva a la relación "ser hermano de". Sin embargo es posible que Luis y Pepe no sean hermanos: Luis y Carlos podrían ser hermanos por ser hijos de la misma madre mientras que Carlos y Pepe pueden compartir padre.

No sé si se ha estudiado alguna vez la propiedad transitiva desde un punto de vista psicológico pero no me extrañaría que exista un sesgo transitivo en la mente humana, esto es, asumir la propiedad transitiva en relaciones de semejanza que no la cumplen. De hecho hay quien utiliza variantes de este sesgo como falacias lógicas. Nuestra mente tiende a aplicar la propiedad transitiva de manera generalizada y de hecho este truco se utiliza en muchos acertijos y juegos de lógica. 

Una de las relaciones que no cumplen la propiedad transitiva pero que puede dar lugar a confusión es la correlación lineal: la relación "está correlacionada con" NO es transitiva. Y este hecho no es trivial ya que tendemos a pensar que si un fenómeno está correlacionado con otro y éste con un tercero el primero y el tercero también lo estarán.

Un sencillo ejercicio mental nos puede ayudar a entender el fenómeno: imaginemos un experimento en el que tomamos 150 plantitas y las exponemos a distintos niveles de luz y de agua de riego de forma aleatoria. Los niveles de agua y luz no estarán pues correlacionados ya que por el propio diseño del experimento no regamos más las plantitas con más o menos luz. Supongamos que medimos el crecimiento de las plantitas y hallamos que el crecimiento está correlacionado con el nivel de luz y con la cantidad de agua de riego. Podríamos entonces afirmar que el nivel de luz está correlacionado con el crecimiento, y el crecimiento a su vez con la cantidad de agua de riego, pero tal y como hemos dicho antes, los niveles de luz y agua no guardan correlación alguna: no hay transitividad. He compuesto un pequeño ejemplo númérico que puede consultarse aquí.

En realidad no creo que sea del todo cierto que la correlación no sea transitiva. Si la correlación es perfecta entre dos variables se verificará que si una de ellas está correlacionada con una tercera la otra también lo estará. La correlación puede ser más o menos alta (cercana a 1) o significativa (con un valor significativamente distinto de 0). En la medida que la correlación entre dos variables sea muy alta es más fácil que se verifique un cierta transitividad en la correlación con terceras variables. Aunque ahora mismo no puedo demostrar lo que sigue matemáticamente (es una conjetura, pero tengo una intuición muy fuerte al respecto... y seguramente no es difícil de demostrar (*) ) creo que es cierto que: 

si la suma de los cuadrados de los coeficientes de correlación de una variable X con otras dos variables Y y Z es superior a 1, el coeficiente de correlación entre Y y Z no puede ser nulo

Otra lectura de la afirmación anterior es que si dos variables están correlacionadas con una tercera pero la suma de los cuadrados de los coeficientes de correlación no es mayor que 1 dichas variables pueden no guardar ninguna correlación. ¡Ojo!: no afirmo que no exista. Digo que es compatible la existencia de dos variables con un fuerte poder explicativo sobre una tercera sin que ambas guarden correlación entre sí. De hecho, como dichos coeficientes tienes un valor absoluto menor que 1 su cuadrado es menor. Por ejemplo, es posible que dos variables presenten una correlación de 0,7 con una tercera y que no guarden correlación entre sí: 0,7^2 + 0,7^2 = 0,98 < 1

En realidad toda esta cháchara está inspirada por la lectura del texto de Juan Ignacio Pérez (@Uhandrea) en su excelente blog La Naturaleza Humana: "¿Es la herencia el factor que más influye en el desempeño escolar?". Ahí Juan Ignacio explica los resultados de una investigación en el Reino Unido sobre el desempeño escolar. Parece que los investigadores han demostrado una alta heredabilidad de dicho carácter: los hijos de los padres que lo hacían bien en el cole lo hacen bien también ellos. Hasta un 52% de la variabilidad parece tener origen genético. A mí no me sorprende y parece que tampoco lo hace al autor del blog. Sin embargo Juan Ignacio es incisivo y no se queda ahí sino que compara los resultados de esta investigación con los resultados del informe PISA donde queda en evidencia que el estrato socioeconómico de los estudiantes es un importante determinante de su desempeño escolar. Copio y pego:

Démonos cuenta de que si las conclusiones de los informes PISA y resultados como los aquí expuestos fuesen válidos a la vez, querría decir que la distribución de la población en sectores o estratos socioeconómicos tendría también una base genética. Y esto, a mí, me resulta difícil de aceptar, quizás porque va en contra de ideas muy firmemente establecidas en mi pensamiento o quizás porque no concuerda con mi experiencia con la gente que conozco.

Lo cierto es que a mí también me preocupa. Pero creo que tenemos un par de escapatorias. La primera tiene que ver con el núcleo central de esta entrada: es perfectamente posible que herencia genética y estrato socioeconómico tengan una gran importancia en el desempeño escolar y que a su vez no guarden apenas correlación (o que dicha correlación sea baja) entre sí. Si... ya lo sé... mostrar una puerta abierta no significa que por esa puerta haya pasado nadie, pero por lo menos creo poder afirmar que la conclusión (aunque fuese cierta) no se deriva de la premisas.

Por otro lado me gusta pensar que la existencia de una cierta correlación entre herencia genética y estrato socioeconómico no es necesariamente una mala noticia si dicha relación tiene como mediador al desempeño escolar. Si un señor hace 40 años fue un buen estudiante y eso le permitió alcanzar un nivel socioeconómico superior al de sus padres no me parece mal. Que su hijo haga bien los exámenes bien sea por genética o porque en su casa hay libros y un ambiente culto tampoco me parece un delito. De hecho uno esperaría encontrar una mayor correlación entre genética, desempeño escolar y estrato socioeconómico a largo plazo en sociedades con gran movilidad social que en sociedades más estáticas, como la de castas de la India.


En cualquier caso interesantes reflexiones ya que poco podemos hacer por la genética pero prefiero pensar que sí que es posible cerrar la brecha ocasionada por circunstancias socioeconómicas. 

(*) La intuición viene motivada por el doble significado del R2 de una regresión: como cuadrado de R (coeficiente de correlación entre variable predicha y observada) y como porcentaje de la varianza explicada por la regresión. Se puede investigar un poquito más aquí.