sábado, 12 de abril de 2014

Matrices, determinantes y la invención del dinero

El dinero no es una idea moderna: se ha inventado ya docenas de veces. Algunas razones para que esto haya sido así son más evidentes y otras son aparentemente más oscuras. Por ejemplo se puede sostener que el dinero desde un punto de vista tecnológico no es más que una forma primitiva de memoria [1]. 

Aunque las ventajas de la utilización del dinero frente a la alternativa de una economía de trueque son más que evidentes me gustaría esbozar aquí una de ellas. La idea además puede utilizarse como un caso práctico para introducir los conceptos de matrices, determinantes y rango de una matriz para estudiantes de bachillerato.
3: Coconut shells
Vamos a suponer que nos encontramos en una isla donde sus habitantes producen tres tipos de bienes: cocos, paño y azadas. No conocen el dinero y su economía se basa por completo en el trueque. Para poder comerciar entre ellos necesitamos saber cuántos cocos son necesarios para intercambiar por un pedazo de paño, cuántos cocos se necesitan para conseguir una azada y cuántos paños son necesarios para hacerse con una azada. Vamos a poner cifras para poder seguir la explicación:
  • puedo cambiar 2 cocos por un pedazo de paño
  • puedo cambiar 5 cocos por una azada
  • puedo cambiar 5 paños por.... UN MOMENTO.... ¿sabemos por cuántas azadas puedo cambiar 5 paños?
La operación es sencilla. Si por 1 paño obtengo 2 cocos, por 5 paños me darán 10 cocos. Con 10 cocos puedo comprar 2 azadas, luego la relación de cambio paños-azadas es de 5 a 2. ¿Qué ha pasado aquí?. Lo que ocurre es que las relaciones de intercambio de bienes uno a uno NO son independientes sino que vienen determinadas por otras relaciones de intercambio. De todos modos hemos dicho que los habitantes de la isla no conocen el dinero, pero esto no es del todo cierto: hemos calculado el precio del paño y las azadas en cocos para poder deducir una relación de intercambio "justa". Hemos utilizado los cocos como numerario, esto es, como dinero. 
a Yahoo exec VP gave me a hundred bucks to go home
De hecho podemos representar la matriz de la relaciones de intercambio donde indicamos cuántas unidades de cada fila son necesarias para obtener una unidad de cada columna:


Cocos Paño Azada
Cocos 1 2 5
Paño 0,5 1 2,5
Azada 0,2 0,4 1

Si os fijáis bien con sólo 2 cifras (el 2 y el 5 de la primera fila) es posible construir el resto de matriz. Pero claro, esto es suponiendo que no existen posibilidades de arbitraje. ¿Qué es el arbitraje?

Supongamos que un habitante de la isla anuncia que cambia 5 azadas por 10 piezas de paño ("¡Oferta! Pague 4 y llévese 5"). Al vecino de al lado le sobran 40 cocos y un poco de tiempo para pensar. Decide acudir al pueblo y cambia los 40 cocos por 20 trozos de paño. A continuación se los cambia al vecino por 10 azadas. De las 10 toma 8, vuelve al pueblo y las cambia por sus 40 cocos iniciales: ha ganado 2 azadas sólo por comerciar astutamente y conocer las relaciones de intercambio. En este caso la matriz de relaciones de intercambio sería la siguiente:



Cocos Paño Azada
Cocos 1 2 5
Paño 0,5 1 2
Azada 0,2 0,5 1



Este caso es muy sencillo ya que solamente aparecen 3 bienes y es muy fácil detectar errores de valoración. De hecho lo hemos hecho de forma intuitiva. Pero... ¿qué pasa si en lugar de 3 bienes tenemos docenas, o centenares o miles de bienes distintos?. En ese caso la matriz se hace inmensa. Pero... ¿hay algo en las matrices que nos permita reconocer si los precios están bien puestos y hay posibilidades de arbitraje?. La respuesta es que sí y que es algo que se estudia en matemáticas de bachillerato (C.O.U. en mi época).

Analicemos las dos matrices (llamémoslas A y B). Ambas son de dimensión 3x3, pero no son números puestos al azar. Los elementos de la diagonal siempre son "1" (lo de cambiar duros por cuatro pesetas no lo contemplamos), y los elementos por debajo de la diagonal son los inversos de sus simétricos por encima: la relación de intercambio cocos-paños es la inversa de la relación paños-cocos. La diferencia fundamental está en que la matriz A hemos podido construirla completamente partiendo de sólo dos números (las relaciones de intercambio de los cocos) esto es, con sólo la primera fila. Una vez determinada esa fila podemos construir la matriz entera.  En el caso de la matriz B hemos modificado uno de sus elementos (y su simétrico). ¿Y qué demonios tiene esto que ver con las matemáticas?. Vamos a ello:

Una de las cosas que se aprenden al empezar a trabajar con matrices es el concepto de rango de una matriz. Si recordáis se definía como el número máximo de filas (o de columnas) linealmente independientes de una matriz. ¿Y cuál es el rango de las matrices anteriores?. Lo que voy a mostrar es que el rango de la primera matriz es 1 y el de la segunda matriz es superior (en este caso es de rango 3). Y que en general, si tuviésemos una matriz arbitrariamente grande podríamos detectar si existen posibilidades de arbitraje calculando el rango de la matriz de las relaciones de intercambio. 
 
El método que a mí me enseñaron para calcular el rango de una matriz era el llamado método de los determinantes. (Hay otros métodos más sencillos para matrices muy grandes como el método de Gauss, pero olvidémoslo de momento). El determinante de una matriz no es fácil de definir de forma intuitiva (o por lo menos yo no sé hacerlo) pero tendría algo que ver con un volumen asociado a la misma (no es propiamente un volumen ya que un determinante puede ser negativo y se me hace difícil digerir ese concepto). De momento basta con que sepamos que:
  • el determinante sólo puede calcularse sobre matrices cuadradas (como es el caso)
  • es un escalar, un número. 
  • un menor de una matriz es el determinante de otra matriz que se construye eliminando filas y columnas de la matriz original.
  • el rango de una matriz será el número máximo de filas (o columnas) para el que existe un menor distinto de cero.
Vamos a calcular el rango de la matriz A (para el cálculo de los determinantes se puede consultar la Wikipedia o utilizar la función MDETERM() de la hoja de cálculo):

¿Rango 3?




A









Cocos Paño Azada

Cocos 1 2 5

Paño 0,5 1 2,5

Azada 0,2 0,4 1






Determinante 0,00

¿Rango 2?




Menor 1









Paño Azada

Paño 1 2,5

Azada 0,4 1






Determinante 0,00







Menor 2









Cocos Azada

Cocos 1 5

Azada 0,2 1






Determinante 0,00







Menor 3









Cocos Paño

Cocos 1 2

Paño 0,5 1






Determinante 0,00

¿Rango 1?




Menor 4









Cocos


Cocos 1






Determinante 1,00

 

Hemos ido eliminando filas y columnas (primero de una en una y luego de dos en dos) y calculando el determinante hasta que nos ha salido uno distinto de 0. El rango es 1, tal y como habíamos predicho. A continuación vemos cómo el rango de la matriz B es 3 ya que el determinante de B no es 0:

¿Rango 3?




B









Cocos Paño Azada

Cocos 1 2 5

Paño 0,5 1 2

Azada 0,2 0,5 1






Determinante 0,05


El rango es 3 y no 2 por una sencilla razón: hemos modificado dos elementos de la matriz, la relación paño-azada y su simétrica. Si hubiésemos mantenido el 0,4 para la relación de intercambio azada-paño que aparecía en la matriz A el rango hubiése sido 2.

Una vez visto que calcular determinantes y saber qué es el rango de una matriz tiene su utilidad práctica vamos a señalar un par de cosas más:

La invención del dinero (y su función como numerario) evita tener que llevar el control de todas las posibles relaciones de intercambio. En realidad es como disponer de una de las filas de la matriz a partir de la cual podríamos obtener la matriz entera. El papel del dinero es algo así como un denominador común para todas las mercancías. 

Este tipo de análisis de operaciones de arbitraje (pero mucho más sofisticados) se realizan continuamente en los mercados financieros de derivados donde es posible simular unos productos combinando otros. Los errores de valoración son rápidamente detectados por sistemas informáticos que tratan de aprovecharse de ellos de una forma que recuerda el ejemplo que hemos puesto aquí.

Parece sensato que el dinero pueda fraccionarse en unidades pequeñas (la calderilla, vamos) para poder denominar con él todos los bienes. Si aparecen muchas unidades fraccionarias es posible que para hacer "trueques" haya que aplicar redondeos. Esto puede ser una buena historia para explicar los números primos entre sí.... pero eso lo dejamos para otro día.


[1] Narayana R. Kocherlakota (1996). Money is Memory. Federal Reserve Bank of Minneapolis Reseach Department Staff Report 218

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