Sobre la paradoja del ascensor

No sé si conocéis a Clara Grima. Matemática con un algo de show-woman que la hace francamente divertida. Sus artículos de divulgación en distintos medios son muy recomendables y en especial si te gustan las matemáticas.

Dicho ésto, hoy he leído un artículo suyo (que conviene leer para entender lo que viene a continuación) sobre la paradoja del ascensor que me ha dejado un poco pensativo y que ha motivado lo que voy a escribir a continuación. Vamos allá:


Clara afirma que:

"... si suponemos que los ascensores se mueven de forma uniforme a lo largo del edificio y estamos en la 2ª planta de un edificio de siete, como aquel en el que trabajaban Gamow y Stern, tenemos más plantas por arriba que por abajo, con lo cual, la probabilidad de que el ascensor esté en una planta superior cuando lo llamamos es más alta que la probabilidad de que esté en una planta por debajo nuestra. Y al revés."

En realidad la sentencia anterior es cierta si se se cumple la condición  "suponemos que los ascensores se mueven de forma uniforme a lo largo del edificio". Claro... si los ascensores suben y bajan de la planta baja al último piso continuamente el razonamiento anterior es cierto. Sin embargo no es así como se usan normalmente los ascensores. La gente los utiliza normalmente para subir hasta su planta (y no más arriba) y para bajar hasta la planta baja.

Pongamos un ejemplo. Supongamos un edificio de 11 plantas (lo hago así para simplificar los cálculos) en el que en cada piso vive un vecino. El vecino utiliza el ascensor para subir y para bajar. Lo cierto es que no puede subir si no está en la calle y no puede bajar a la calle si no ha subido primero: la mitad de sus viajes en ascensor serán de subida y la otra mitad de bajada. De modo que cada vecino deja el ascensor la mitad de las veces en su planta y la otra mitad de las veces en la planta baja.

La probabilidad de que un vecino encuentre el ascensor más arriba de su planta será pues la probabilidad de que el anterior vecino que ha cogido el ascensor viva por encima multiplicado por la probabilidad de que ese viaje fuese de subida (un 50%).

Así pues las probabilidades de que el ascensor esté más arriba serían:

Para el vecino de la planta 11: 0.0 x 0.5 = 0%
Para el vecino de la planta 10: 0.1 x 0.5 = 5%
...
Para el vecino de la planta 2: 0.9 x 0.5 = 45%
Para el vecino de la planta 1: 1 x 0.5 = 50%

Esto es, para el vecino de la planta 1 es tan probable que el ascensor esté en la planta baja como en un piso situado por encima de él. Para todos los demás es más probable que el ascensor venga de abajo.

Y hasta aquí mi ida de olla del día.

La correlación no es transitiva

No sé si recordaréis aquellas clases de matemáticas donde nos hablaban de una propiedad que cumplían algunas relaciones denominada propiedad transitiva. Un ejemplo donde se cumple la propiedad transitiva es en la relación de igualdad: 

• si A = B y B = C, entonces A = C. 

Otro ejemplo es la relación "mayor que": 

• si A > B y B > C, entonces A > C

Hay otras relaciones que no cumplen la propiedad transitiva como por ejemplo la relación de desigualdad: si A es distinto de B y B es distinto de C no podemos decir nada sobre si A es o no distinto de C.

Otro ejemplo: si Luis es hermano de Carlos y Carlos es hermano de Pepe ¿es Luis hermano de Pepe?. Si contestamos a bote pronto seguramente contestaremos afirmativamente aplicando la propiedad transitiva a la relación "ser hermano de". Sin embargo es posible que Luis y Pepe no sean hermanos: Luis y Carlos podrían ser hermanos por ser hijos de la misma madre mientras que Carlos y Pepe pueden compartir padre.

No sé si se ha estudiado alguna vez la propiedad transitiva desde un punto de vista psicológico pero no me extrañaría que exista un sesgo transitivo en la mente humana, esto es, asumir la propiedad transitiva en relaciones de semejanza que no la cumplen. De hecho hay quien utiliza variantes de este sesgo como falacias lógicas. Nuestra mente tiende a aplicar la propiedad transitiva de manera generalizada y de hecho este truco se utiliza en muchos acertijos y juegos de lógica. 

Una de las relaciones que no cumplen la propiedad transitiva pero que puede dar lugar a confusión es la correlación lineal: la relación "está correlacionada con" NO es transitiva. Y este hecho no es trivial ya que tendemos a pensar que si un fenómeno está correlacionado con otro y éste con un tercero el primero y el tercero también lo estarán.

Un sencillo ejercicio mental nos puede ayudar a entender el fenómeno: imaginemos un experimento en el que tomamos 150 plantitas y las exponemos a distintos niveles de luz y de agua de riego de forma aleatoria. Los niveles de agua y luz no estarán pues correlacionados ya que por el propio diseño del experimento no regamos más las plantitas con más o menos luz. Supongamos que medimos el crecimiento de las plantitas y hallamos que el crecimiento está correlacionado con el nivel de luz y con la cantidad de agua de riego. Podríamos entonces afirmar que el nivel de luz está correlacionado con el crecimiento, y el crecimiento a su vez con la cantidad de agua de riego, pero tal y como hemos dicho antes, los niveles de luz y agua no guardan correlación alguna: no hay transitividad. He compuesto un pequeño ejemplo númérico que puede consultarse aquí.

En realidad no creo que sea del todo cierto que la correlación no sea transitiva. Si la correlación es perfecta entre dos variables se verificará que si una de ellas está correlacionada con una tercera la otra también lo estará. La correlación puede ser más o menos alta (cercana a 1) o significativa (con un valor significativamente distinto de 0). En la medida que la correlación entre dos variables sea muy alta es más fácil que se verifique un cierta transitividad en la correlación con terceras variables. Aunque ahora mismo no puedo demostrar lo que sigue matemáticamente (es una conjetura, pero tengo una intuición muy fuerte al respecto... y seguramente no es difícil de demostrar (*) ) creo que es cierto que: 

si la suma de los cuadrados de los coeficientes de correlación de una variable X con otras dos variables Y y Z es superior a 1, el coeficiente de correlación entre Y y Z no puede ser nulo

Otra lectura de la afirmación anterior es que si dos variables están correlacionadas con una tercera pero la suma de los cuadrados de los coeficientes de correlación no es mayor que 1 dichas variables pueden no guardar ninguna correlación. ¡Ojo!: no afirmo que no exista. Digo que es compatible la existencia de dos variables con un fuerte poder explicativo sobre una tercera sin que ambas guarden correlación entre sí. De hecho, como dichos coeficientes tienes un valor absoluto menor que 1 su cuadrado es menor. Por ejemplo, es posible que dos variables presenten una correlación de 0,7 con una tercera y que no guarden correlación entre sí: 0,7^2 + 0,7^2 = 0,98 < 1

En realidad toda esta cháchara está inspirada por la lectura del texto de Juan Ignacio Pérez (@Uhandrea) en su excelente blog La Naturaleza Humana: "¿Es la herencia el factor que más influye en el desempeño escolar?". Ahí Juan Ignacio explica los resultados de una investigación en el Reino Unido sobre el desempeño escolar. Parece que los investigadores han demostrado una alta heredabilidad de dicho carácter: los hijos de los padres que lo hacían bien en el cole lo hacen bien también ellos. Hasta un 52% de la variabilidad parece tener origen genético. A mí no me sorprende y parece que tampoco lo hace al autor del blog. Sin embargo Juan Ignacio es incisivo y no se queda ahí sino que compara los resultados de esta investigación con los resultados del informe PISA donde queda en evidencia que el estrato socioeconómico de los estudiantes es un importante determinante de su desempeño escolar. Copio y pego:

Démonos cuenta de que si las conclusiones de los informes PISA y resultados como los aquí expuestos fuesen válidos a la vez, querría decir que la distribución de la población en sectores o estratos socioeconómicos tendría también una base genética. Y esto, a mí, me resulta difícil de aceptar, quizás porque va en contra de ideas muy firmemente establecidas en mi pensamiento o quizás porque no concuerda con mi experiencia con la gente que conozco.

Lo cierto es que a mí también me preocupa. Pero creo que tenemos un par de escapatorias. La primera tiene que ver con el núcleo central de esta entrada: es perfectamente posible que herencia genética y estrato socioeconómico tengan una gran importancia en el desempeño escolar y que a su vez no guarden apenas correlación (o que dicha correlación sea baja) entre sí. Si... ya lo sé... mostrar una puerta abierta no significa que por esa puerta haya pasado nadie, pero por lo menos creo poder afirmar que la conclusión (aunque fuese cierta) no se deriva de la premisas.

Por otro lado me gusta pensar que la existencia de una cierta correlación entre herencia genética y estrato socioeconómico no es necesariamente una mala noticia si dicha relación tiene como mediador al desempeño escolar. Si un señor hace 40 años fue un buen estudiante y eso le permitió alcanzar un nivel socioeconómico superior al de sus padres no me parece mal. Que su hijo haga bien los exámenes bien sea por genética o porque en su casa hay libros y un ambiente culto tampoco me parece un delito. De hecho uno esperaría encontrar una mayor correlación entre genética, desempeño escolar y estrato socioeconómico a largo plazo en sociedades con gran movilidad social que en sociedades más estáticas, como la de castas de la India.


En cualquier caso interesantes reflexiones ya que poco podemos hacer por la genética pero prefiero pensar que sí que es posible cerrar la brecha ocasionada por circunstancias socioeconómicas. 

(*) La intuición viene motivada por el doble significado del R2 de una regresión: como cuadrado de R (coeficiente de correlación entre variable predicha y observada) y como porcentaje de la varianza explicada por la regresión. Se puede investigar un poquito más aquí.

Empeños a lo bestia: el BCE

Una de las cosas que más me gusta de la TDT es que ahora tenemos una gran variedad de canales para tíos. Han proliferado programas sobre cazadores de caimanes, embargadores de coches, Así se hace, programas sobre cómo se construyen petroleros o rascacielos en el desierto de Dubai... He de reconocer que me gustan.

No sé si habéis visto alguna vez el programa Empeños a lo bestia que actualmente emite el canal de TDT XPL. La idea es sencilla: meten cámaras en una casa de empeños de Detroit. El propietario de la tienda, Les Gould, se afana en gestionar su negocio mientras sus dos hijos (Seth y Ashley) desafían las leyes de la genética (¿cómo de un padre tan listo han podido salir esa pareja de pedazos de carne con ojos?) y el sentido común en cada capítulo.

Aquí no son habituales las casas de empeño pero parece que por aquellas latitudes norteamericanas son algo bastante común. Básicamente el negocio consta de las siguientes partes.

• por un lado acuden "clientes" (tal vez habría que llamarlos proveedores) con cosas que quieren vender. Tras una negociación si el producto es de interés se fija un precio y se produce la compraventa.
• otros "clientes" no quieren vender sino que necesitan liquidez pero no quieren desprenderse definitivamente de los objetos que aportan y es lo que se denomina un empeño. En este caso lo que ocurre es que se negocia un importe inferior al precio de compraventa. El cliente obtiene ese "préstamo" y puede hacer ingresos periódicos para cubrir los intereses. En el momento que tiene liquidez puede rescatar sus bienes. Si por lo que fuera pasa un determinado tiempo sin hacer pagos de intereses ni rescatar el bien la casa de empeños se queda con el objeto y puede disponer de él libremente.
• Por supuesto, hay una tienda donde se pueden comprar todos los objetos adquiridos o empeñados y no rescatados en su día. 

Lo curioso del caso es que todo el sistema financiero europeo (la Unión Monetaria Europea) está apoyada en una enorme casa de empeños llamada Banco Central Europeo. Cuando se habla de la "barra libre" del BCE en realidad se está hablando de que el BCE admite "empeños" de activos de las entidades financieras a cambio de un bajo tipo de interés. En principio a los activos que se entregan a cambio llamados colateral se les aplica un descuento o "haircut" en relación a su valor de mercado de tal forma que en caso de impago el BCE no pierda dinero. 

Si lo pensáis un poco veréis cómo esa idea de que los bancos pueden "tomar prestado" a un precio ridículo para invertirlo en deuda pública con un tipo de interés más alto y forrarse en la operación parece un poco más difícil de lo que nos cuentan... de hecho no ocurre. Otra cosa es que algunas entidades aprovecharan operaciones no habituales a muy largo plazo (LTROs a 3 años) por lo que "pudiera pasar" y el exceso de tesorería acabase en sus balances en forma de deuda pública, pero desde luego no se trata de un negocio para forrarse. Si no ¿por qué ha habido que rescatar a entidades financieras si tenían semejante negocio a su disposición? ¿Por qué las entidades más saneadas NO acuden a dichas operaciones?. Dicho en otras palabras... si tienes en el bolsillo el dinero que necesitas... ¿para qué vas a acudir a la casa de empeños?.

En resumen, el mecanismo permite a los bancos hacerse temporalmente con dinero líquido a cambio de la entrega de activos por debajo de su valor de mercado y del pago de un interés: es una casa de empeños... ¡A LO BESTIA!

¿Por qué me hice economista?

Permítanme mis lectores una entrada con una carácter más autobiográfico que otra cosa. En realidad no sé si es del todo cierto ya que la memoria distorsiona los ecos de los recuerdos reforzando unos aspectos y suavizando otros. De hecho no sé si las cosas fueron exactamente así, pero así prefiero recordarlas ahora...

Tenía 16 años y mi profesora de física del instituto, en 3º de B.U.P. me prestó En busca del gato de Schrödinger de John Gribbin. Fue entonces cuando leí por primera vez algo sobre el experimento de la doble ranura (*): quedé impactado. En ese experimento los fotones parecía que sabían si se les estaba observando o no y actuaban en consecuencia como onda o como partícula. En ese momento decidí que yo iba a ser físico.

Lo cierto es que lo tenía claro: las matemáticas se me daban muy bien, la física me apasionaba, la química me parecía un coñazo (pero se me daba bien)... y para completar el ciclo todo lo que tenía que ver con "sociales" me parecía una pérdida de tiempo. Mis calificaciones no eran especialmente buenas en cualquier cosa que tuviese que ver con sociales.

Me marché a estudiar C.O.U. a Estados Unidos. Escogí asignaturas de Física, Química, Inglés, Historia de EEUU, halterofilia, y por exigencias del guión para poderme graduar tuve que apuntarme a un semestre de "gobierno americano" y el siguiente a.... Economía. Y poco a poco comenzó a obrarse un pequeño cambio... Lo cierto es que hasta ese momento preguntas como ¿por qué es el cielo azul? o ¿qué hay dentro de un agujero negro? eran las que mayor curiosidad despertaban en mí. Pero poco a poco fueron apareciendo otras: ¿por qué unos países son ricos y otros son pobres?, ¿por qué algunos progresan y otros quedan estancados?, ¿podemos hacer algo para evitar la miseria?... La Economía pretendía responder a ese tipo de preguntas. Y eran preguntas interesantes. 

Lo cierto es que tras hablar con una consejera de Berkeley y diseñar mi ingreso en dicha Universidad para estudiar Física decidí cambiar de opinión. No me apetecía formar parte del 70% de físicos graduados en Berkeley que en aquellos años terminaban trabajando para el ejército norteamericano. Decidí volver a España y probar a estudiar Economía sin saber del todo dónde me metía.

Resultó apasionante, y eso que en aquellos años la licenciatura de Economía no existía por separado y teníamos muchas asignaturas comunes con Empresariales. Una vez terminada la carrera continué saciando mi interés en el programa de doctorado (si bien pese a obtener la suficiencia investigadora jamás leí mi tesis por circunstancias personales que no vienen al caso. ) Y he seguido estudiando después.

Para ser un buen economista hacen falta dos cosas: olfato y rigor. El olfato de economista se entrena y se desarrolla con el tiempo. El rigor necesita de herramientas y formación y son esas las que uno debe aprender en la academia.

Y esa es mi historia. O lo que recuerdo de ella. Si estás pensando en qué carrera estudiar o elegir en el futuro no te dejes engañar: ser economista tiene tanto que ver con las páginas de economía del periódico como ser futbolista con las páginas de deportes...

(*)No... no se trata de nada relacionado con esto

Martillos, clavos y cefaleas

"Si la única herramienta que se tiene es un martillo, pensará que cada problema que surge es un clavo" Mark Twain

Creo que la frase anterior encierra una gran verdad. Lo cierto es que cuando uno ha encontrado una solución a un problema trata de establecer paralelismos en otros campos de actuación donde dicha solución pueda aplicarse de forma más amplia. Lo grave del caso es que esto muchas veces no se da y uno acaba aburrido de recibir martillazos en la cabeza por parte de miopes poseedores de martillos mágicos.

Hablando de Economía esto es bastante habitual: tenemos algo que funciona bien y pretendemos exportarlo a tooooooodo ámbito que se nos ocurra. Pongo algún ejemplo:

El libre mercado y la competencia funcionan muy bien suministrando algunos tipos de bienes. En general bienes privados físicos y muchos tipos de servicios son producidos y comerciados de forma muy eficiente en los mercados competitivos. Y funciona bien porque se trata de bienes de consumo excluyente (no son bienes públicos), producir cada unidad adicional tiene un coste (coste marginal) que además es creciente. En dichas condiciones los mercados suelen funcionar bien en general (obviemos por un momento el tema de las externalidades). 

Y como el mercado funciona bien en los bienes que son escasos (como las manzanas) hay quien pretende que otros bienes (como los ebook o los ficheros de música o películas) sean también escasos para poder aplicar las mismas soluciones. Los bienes que acabo de mencionar tienen un coste marginal (un coste de crear una nueva copia) cercano a cero, por lo que la solución del libre mercado no es válida. ¿Qué pretenden algunos? Establecer una escasez artificial penalizando la copia o restringiéndola para aplicar una solución que funciona EN OTRO PROBLEMA. El martillo... y el clavo.

Lo mismo pasa cuando hablamos de bienes públicos. A mí me empieza a cansar esa actitud paternalista que se respira sobre todo en ámbitos empresariales en los que los "expertos" en gestión empresarial tienen la solución para los problemas de la gestión pública. La producción de bienes públicos y en general la administración de la "cosa pública" es muchísimo más compleja que la gestión de una cadena de fruterías. Al final, cuando el gurú empresarial se equivoca cierra el chiringuito, pierde su dinero (o el de los que lo han contratado) y a otra cosa, mariposa. Pero esto no se puede tolerar con el dinero de todos, con el dinero público. No podemos organizar la Justicia de un país en torno a "empresas privadas" de justicia. No podemos "poner un precio" a los bienes públicos y SOBRE TODO, no podemos cometer el error que cometen todos ellos de llamar "cliente" a lo que es un "ciudadano". Y es que el cliente "siempre tiene razón", pero al ciudadano a veces hay que dársela y otras veces no. De nuevo el martillo.... con otra cosa que no es un clavo.

Y que no se me entienda mal: soy liberal hasta la médula. Creo en la libertad, incluida la económica, por encima de todo. Creo que hay que dejar que la gente se organice y ante la duda soy partidario antes del laissez faire que de la intervención. Creo que la intervención del Estado debe estar limitada y justificada. Pero creo que hay muchas ocasiones donde esas condiciones se dan, y hay que intentar buscar soluciones para los problemas, y no replantear los enunciados para tratar de aplicar recetas equivocadas.

La falacia de la transmutación pecuniaria

Alquimistas trabajando

De todos los razonamientos falaces que se hacen hablando de Economía tal vez el que más me molesta es el que acabo de bautizar como la falacia de la transmutación pecuniaria.

La falacia consiste en asumir que todas aquellas cosas que puedan expresarse en unidades monetarias (pecuniarias) pueden transmutarse las unas en las otras. Según esta falacia todo es un problema de dinero. Por ejemplo: con los 40.000 millones que España ha recibido para el rescate financiero se podrían comprar 200 millones de toneladas de trigo (a unos 200€/Tm) y solucionar el problema del hambre de África. El problema es que la cosecha de trigo mundial es la que es y 200 millones de toneladas suponen aproximadamente la cuarta parte de TODO el trigo del mundo... de modo que no podríamos comprarlo, o por lo menos no a ese precio. La cantidad de trigo hoy es fija y no podemos aumentarla a corto plazo ni con todo el dinero del mundo.

Si con las mercancías ya ocurre, ni digamos cuando hablamos de millones de euros para contratar personas, como si cualquier persona desocupada pudiese ocupar cualquier puesto de trabajo sin más. Por ejemplo, no podemos destinar los 40.000 millones anteriores a contratar 100.000 médicos... porque -si no lo he leído mal- "sólo" tenemos del orden de 16.000 profesionales sanitarios (entre médicos, personal de enfermería y farmacéuticos) en el paro. Aunque quisiésemos, esos son los que hay.

Son sólo ejemplos, pero es muy común traducir las magnitudes a dinero para después convertirlas en otra cosa nueva, como si fuese posible en una alquimia moderna convertir un millón de euros de plomo en un millón de euros de oro...

Saldando deudas

Hace unas semanas tuve un intercambio de pareceres en Twitter con Jesús Zamora Bonilla y prometí exponer mis argumentos de forma más extensa en una entrada en este mi blog. Para centrar un poco la cuestión resumo rápidamente la afirmación de Jesús para proceder después a justificar mi crítica. 

Parece que Jesús estaba enfadado con alguien que opinaba en la tele sobre el informe PISA y que afirmaba que nuestro sistema educativo es un desastre "se mire por donde se mire". Jesús, no estando de acuerdo con quien hacía dicha afirmación, acompañaba el siguiente gráfico para argumentar que "Nuestra nota PISA responde exactamente a lo esperable con nuestro PIB".

 La recta de regresión pasa exactamente por encima del punto de España, hecho que Jesús utiliza para hacer la afirmación anterior. Mi contestación literal fue: "Uffff.... Sacar esa conclusión de ese gráfico es temerario cuando menos....".

No quiero discutir aquí sobre si me parece que el informe PISA es algo por lo que tengamos que flagelarnos o sacar pecho; hay gente mucho más capacitada que yo para analizarlo, desmenuzarlo y juzgar si Jesús tiene razón o no. Lo que yo quiero hacer en esta entrada es argumentar que un análisis de correlación y su recta de regresión simple dibujada sobre la nube de datos no permite hacer afirmaciones como la de Jesús. 

Para explicar mi punto de vista utilizaré un ejemplo numérico con datos inventados sobre un fenómeno para el que sabemos que existe una correlación: las personas más altas ganan salarios más altos. Imaginemos que tengo los siguientes datos de altura en cm. y salarios de 400 hombres:

En la gráfica anterior he destacado un punto (señalado con un circulito) que cae prácticamente sobre la linea. Según la lógica de Jesús, lo que dicha persona está ganando "responde exactamente a lo esperable" por su altura. 

Supongamos ahora que también tengo datos sobre el nivel de formación de cada una de esas personas. La siguiente gráfica representa los mismos datos que la anterior pero con una modificación: los colores de los puntos identifican distintos niveles educativos:

Los puntos de color rojo representan un nivel educativo bajo, los azules un nivel medio y los verdes un nivel superior. La remuneración salarial está también correlacionada con el nivel educativo observándose más puntitos verdes por la parte superior de la nube de puntos y puntitos rojos por la parte inferior. He vuelto a representar la recta de regresión global, pero también la recta de regresión para los individuos "verdes" (los de nivel educativo alto). La correlación entre su salario y su altura es prácticamente la misma (las rectas son casi paralelas), pero pasa por encima. He vuelto a señalar el mismo punto que antes estaba "donde le correspondía" según su altura y vemos ahora cómo está claramente por debajo de lo que le corresponde según su altura y su nivel educativo. 

En resumen: NO podemos sacar conclusiones sobre si un punto esta "donde le corresponde" ya que un estudio de correlación (lineal, para más señas) carece de capacidad predictiva. Básicamente nos dice en qué dirección se extiende la nube de puntos y poco más. 

Y con esto doy por saldada mi deuda respecto al tema. :D