lunes, 20 de enero de 2014

Sobre la paradoja del ascensor

No sé si conocéis a Clara Grima. Matemática con un algo de show-woman que la hace francamente divertida. Sus artículos de divulgación en distintos medios son muy recomendables y en especial si te gustan las matemáticas.

Dicho ésto, hoy he leído un artículo suyo (que conviene leer para entender lo que viene a continuación) sobre la paradoja del ascensor que me ha dejado un poco pensativo y que ha motivado lo que voy a escribir a continuación. Vamos allá:


Clara afirma que:

"... si suponemos que los ascensores se mueven de forma uniforme a lo largo del edificio y estamos en la 2ª planta de un edificio de siete, como aquel en el que trabajaban Gamow y Stern, tenemos más plantas por arriba que por abajo, con lo cual, la probabilidad de que el ascensor esté en una planta superior cuando lo llamamos es más alta que la probabilidad de que esté en una planta por debajo nuestra. Y al revés."

En realidad la sentencia anterior es cierta si se se cumple la condición  "suponemos que los ascensores se mueven de forma uniforme a lo largo del edificio". Claro... si los ascensores suben y bajan de la planta baja al último piso continuamente el razonamiento anterior es cierto. Sin embargo no es así como se usan normalmente los ascensores. La gente los utiliza normalmente para subir hasta su planta (y no más arriba) y para bajar hasta la planta baja.

Pongamos un ejemplo. Supongamos un edificio de 11 plantas (lo hago así para simplificar los cálculos) en el que en cada piso vive un vecino. El vecino utiliza el ascensor para subir y para bajar. Lo cierto es que no puede subir si no está en la calle y no puede bajar a la calle si no ha subido primero: la mitad de sus viajes en ascensor serán de subida y la otra mitad de bajada. De modo que cada vecino deja el ascensor la mitad de las veces en su planta y la otra mitad de las veces en la planta baja.

La probabilidad de que un vecino encuentre el ascensor más arriba de su planta será pues la probabilidad de que el anterior vecino que ha cogido el ascensor viva por encima multiplicado por la probabilidad de que ese viaje fuese de subida (un 50%).

Así pues las probabilidades de que el ascensor esté más arriba serían:

Para el vecino de la planta 11: 0.0 x 0.5 = 0%
Para el vecino de la planta 10: 0.1 x 0.5 = 5%
...
Para el vecino de la planta 2: 0.9 x 0.5 = 45%
Para el vecino de la planta 1: 1 x 0.5 = 50%

Esto es, para el vecino de la planta 1 es tan probable que el ascensor esté en la planta baja como en un piso situado por encima de él. Para todos los demás es más probable que el ascensor venga de abajo.

Y hasta aquí mi ida de olla del día.

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